الجبر الخطي: الفضاءات المتجهة والتحويلات - منظور عالمي

الجبر الخطي هو فرع أساسي من الرياضيات يوفر الأدوات والتقنيات اللازمة لفهم وحل المشكلات في مجموعة واسعة من التخصصات، بما في ذلك الفيزياء والهندسة وعلوم الحاسوب والاقتصاد والإحصاء. تقدم هذه المقالة نظرة عامة شاملة على مفهومين أساسيين في الجبر الخطي: الفضاءات المتجهة والتحويلات الخطية، مع التأكيد على أهميتها العالمية وتطبيقاتها المتنوعة.

ما هي الفضاءات المتجهة؟

في جوهرها، الفضاء المتجه (يسمى أيضًا الفضاء الخطي) هو مجموعة من الكائنات، تسمى المتجهات، التي يمكن جمعها وضربها ("قياسها") بالأرقام، تسمى الكميات القياسية. يجب أن تستوفي هذه العمليات بديهيات محددة لضمان أن يتصرف الهيكل بشكل يمكن التنبؤ به.

بديهيات الفضاء المتجه

لتكن V مجموعة معرفة بعمليتين: جمع المتجهات (u + v) والضرب القياسي (cu)، حيث u و v متجهات في V، و c كمية قياسية. V هو فضاء متجه إذا تحققت البديهيات التالية:

• الإغلاق تحت الجمع: لكل u، v في V، يكون u + v في V.
• الإغلاق تحت الضرب القياسي: لكل u في V ولكل الكميات القياسية c، يكون cu في V.
• تبديلية الجمع: لكل u، v في V، يكون u + v = v + u.
• تجميعية الجمع: لكل u، v، w في V، يكون (u + v) + w = u + (v + w).
• وجود عنصر محايد جمعي: يوجد متجه 0 في V بحيث يكون لكل u في V، u + 0 = u.
• وجود معكوس جمعي: لكل u في V، يوجد متجه -u في V بحيث يكون u + (-u) = 0.
• توزيعية الضرب القياسي بالنسبة لجمع المتجهات: لكل الكميات القياسية c ولكل u، v في V، يكون c(u + v) = cu + cv.
• توزيعية الضرب القياسي بالنسبة للجمع القياسي: لكل الكميات القياسية c، d ولكل u في V، يكون (c + d)u = cu + du.
• تجميعية الضرب القياسي: لكل الكميات القياسية c، d ولكل u في V، يكون c(du) = (cd)u.
• وجود عنصر محايد ضربي: لكل u في V، يكون 1u = u.

أمثلة على الفضاءات المتجهة

فيما يلي بعض الأمثلة الشائعة للفضاءات المتجهة:

• Rⁿ: مجموعة كل الصفوف المكونة من n من الأعداد الحقيقية، مع جمع عنصري وضرب قياسي. على سبيل المثال، R² هو المستوى الديكارتي المألوف، و R³ يمثل الفضاء ثلاثي الأبعاد. يستخدم هذا على نطاق واسع في الفيزياء لنمذجة المواضع والسرعات.
• Cⁿ: مجموعة كل الصفوف المكونة من n من الأعداد المركبة، مع جمع عنصري وضرب قياسي. يستخدم على نطاق واسع في ميكانيكا الكم.
• M_m,n(R): مجموعة كل المصفوفات m × n ذات الإدخالات الحقيقية، مع جمع المصفوفات والضرب القياسي. المصفوفات أساسية لتمثيل التحويلات الخطية.
• P_n(R): مجموعة كل كثيرات الحدود ذات المعاملات الحقيقية من الدرجة n على الأكثر، مع جمع كثيرات الحدود والضرب القياسي. مفيد في نظرية التقريب والتحليل العددي.
• F(S, R): مجموعة كل الدوال من مجموعة S إلى الأعداد الحقيقية، مع جمع نقطي وضرب قياسي. يستخدم في معالجة الإشارات وتحليل البيانات.

الفضاءات الفرعية

الفضاء الفرعي للفضاء المتجه V هو مجموعة فرعية من V وهي نفسها فضاء متجه تحت نفس عمليات الجمع والضرب القياسي المعرفة على V. للتحقق من أن المجموعة الفرعية W من V هي فضاء فرعي، يكفي أن نوضح ما يلي:

• W غير فارغة (غالبًا ما يتم ذلك عن طريق إظهار أن المتجه الصفري موجود في W).
• W مغلقة تحت الجمع: إذا كان u و v في W، فإن u + v في W.
• W مغلقة تحت الضرب القياسي: إذا كان u في W و c كمية قياسية، فإن cu في W.

الاستقلال الخطي، الأساس، والبعد

تقول المجموعة {v₁, v₂, ..., v_n} من المتجهات في الفضاء المتجه V أنها مستقلة خطيًا إذا كان الحل الوحيد للمعادلة c₁v₁ + c₂v₂ + ... + c_nv_n = 0 هو c₁ = c₂ = ... = c_n = 0. وإلا، فإن المجموعة تكون مرتبطة خطيًا.

الأساس للفضاء المتجه V هو مجموعة مستقلة خطيًا من المتجهات التي تمتد على V (أي أن كل متجه في V يمكن كتابته كمجموعة خطية من متجهات الأساس). بعد الفضاء المتجه V هو عدد المتجهات في أي أساس لـ V. هذه خاصية أساسية للفضاء المتجه.

مثال: في R³، الأساس القياسي هو {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}. بعد R³ هو 3.

التحويلات الخطية

التحويل الخطي (أو الخريطة الخطية) هو دالة T: V → W بين فضاءين متجهين V و W تحافظ على عمليات جمع المتجهات والضرب القياسي. رسميًا، يجب أن يفي T بالخاصيتين التاليتين:

• T(u + v) = T(u) + T(v) لكل u، v في V.
• T(cu) = cT(u) لكل u في V ولكل الكميات القياسية c.

أمثلة على التحويلات الخطية

• التحويل الصفري: T(v) = 0 لكل v في V.
• تحويل الهوية: T(v) = v لكل v في V.
• تحويل القياس: T(v) = cv لكل v في V، حيث c كمية قياسية.
• الدوران في R²: الدوران بزاوية θ حول الأصل هو تحويل خطي.
• الإسقاط: إسقاط متجه في R³ على المستوى xy هو تحويل خطي.
• التفاضل (في فضاء الدوال القابلة للتفاضل): المشتقة هي تحويل خطي.
• التكامل (في فضاء الدوال القابلة للتكامل): التكامل هو تحويل خطي.

النواة والمدى

نواة (أو الفضاء الصفري) للتحويل الخطي T: V → W هي مجموعة كل المتجهات في V التي يتم تعيينها إلى المتجه الصفري في W. رسميًا، ker(T) = {v في V | T(v) = 0}. النواة هي فضاء فرعي من V.

مدى (أو الصورة) للتحويل الخطي T: V → W هي مجموعة كل المتجهات في W التي هي صورة لبعض المتجهات في V. رسميًا، range(T) = {w في W | w = T(v) لبعض v في V}. المدى هو فضاء فرعي من W.

تنص نظرية الرتبة والنواة على أنه بالنسبة للتحويل الخطي T: V → W، يكون dim(V) = dim(ker(T)) + dim(range(T)). توفر هذه النظرية علاقة أساسية بين أبعاد النواة والمدى للتحويل الخطي.

تمثيل المصفوفة للتحويلات الخطية

بالنظر إلى التحويل الخطي T: V → W وأسس لـ V و W، يمكننا تمثيل T كمصفوفة. يتيح لنا ذلك إجراء تحويلات خطية باستخدام ضرب المصفوفات، وهو فعال من الناحية الحسابية. هذا أمر بالغ الأهمية للتطبيقات العملية.

مثال: ضع في اعتبارك التحويل الخطي T: R² → R² المعرف بواسطة T(x, y) = (2x + y, x - 3y). تمثيل المصفوفة لـ T بالنسبة إلى الأساس القياسي هو:

الدورات التدريبية عبر الإنترنت: MIT OpenCourseWare (دورة الجبر الخطي لجيلبرت سترانج)، أكاديمية خان (الجبر الخطي)

البرمجيات: MATLAB، Python (مكتبات NumPy، SciPy)